742 : 対称な凸格子多角形の最小面積

対称な凸格子多角形 (symmetrical convex grid polygon)とは、以下の条件を満たすものである：

• すべての頂点は整数座標である。

• すべての内角は180度より真に小さい。

• 水平方向と垂直方向ともに対称である。

例えば、下図の左に示す多角形は、水平方向、垂直方向のいずれにおいても対称ではない。 右に示すものは、6つの頂点を持つ上の条件を満たす対称な凸格子多角形である。

$A(N)$を、$N$個の頂点を持つ対称な凸格子多角形の最小面積と定義する。$A(4) = 1, A(8) = 7, A(40) = 1039, A(100) = 17473$である。

$A(1000)$を求めよ。