751 : 連結して一致

非減少整数列 $a_n$ は、以下の手順で任意の正の実数値 $\theta$ から生成できる：

$$\begin{array}{l} \begin{split} b_1 &= \theta \\ b_n &= \lfloor b_{n-1} \rfloor \left(b_{n-1} - \lfloor b_{n-1} \rfloor + 1\right)~~~\forall ~ n \geq 2 \\ a_n &= \lfloor b_{n} \rfloor \end{split} \end{array}$$

ここで $\lfloor \cdot \rfloor$ は床関数である。

例えば、$\theta=2.956938891377988 \dots$ はフィボナッチ数列 $2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \dots$ を生成する。

正整数列 $a_n$ の連結を、 $a_1$ から始まり、小数点以下に数列の要素を連結して作られる実数値 $a_1.a_2a_3a_4 \dots$ とし、これを $\tau$ で表す。

例えば、$\theta=2.956938891377988 \dots$ から作られるフィボナッチ数列は連結 $\tau=2.3581321345589 \dots$ を作る。 明らかに、この値 $\theta$ に関して $\tau \neq \theta$ である。

生成される数列は $a_1 = 2$ で始まり、生成される数列の連結が元の値と等しい $\tau = \theta$ ような、唯一の値 $\theta$ を求めよ。 答えは小数点以下24桁になるように四捨五入して答えよ。