869 : 素数当て

$N$ 以下の全ての素数から等確率でひとつを選ぶ。 この素数は2進表記で記述され、プレイヤーは最下位ビットから順にビットごとに推測する。 プレイヤーは正しく推測した1ビットにつき1点を得る。 それぞれの推測の直後に、その推測が正しかったかどうか、また、それが最後のビットだったかどうかがプレイヤーに通知される。最後のビットの推測が終わったときゲームは終了する。

$E(N)$ を、プレイヤーが常にスコアを最大化するように推測するとした場合の点数の期待値とする。 例えば $E(10)=2$ である。これは常にビット "1" を推測することで達成できる。 また $E(30)=2.9$ である。

$E(10^8)$ を求めよ。小数点以下8桁に四捨五入して答えよ。