086 : 直方体のルート

下に示す直方体は寸法が $6×5×3$ である. この直方体の1つの頂点Sにクモがいる. また反対の頂点Fにはハエがいる. SからFまでの壁に沿って直線移動する最短ルートは図に示す通りで, この長さは10である.

この最短ルートの候補は3本あるが, 最短のものがいつも整数長さとは限らない.

さて, $M×M×M$ 以下の寸法の直方体について, 最短ルートが整数である直方体の個数を考える. $M=100$ のとき, 条件を満たす直方体は2060個ある. この $M=100$ は条件を満たす直方体の個数が2000を超える最小の $M$ である. なお, $M=99$ のときは1975個である.