190 : 加重積の最大化

$S_m = (x_1, x_2, \dots, x_m)$を$x_1 + x_2 + \dots + x_m = m$かつ,$P_m = {x_1}^1 \times {x_2}^2 \times \dots \times {x_m}^m$を最大にする$m$項の正の実数の組とする.

例えば$[P_{10}] = 4112$であることが分かる (ただし$[ \cdot ]$は実数の整数部分を取り出す関数).

$2 ≤ m ≤ 15$について$\sum [P_m]$を求めよ.