184 : 原点を含む三角形

原点を中心とした半径$r$の円の内部に含まれる点$(x,y)$, すなわち$x^2 + y^2 < r^2$, の座標が整数となる集合$I_r$を考える.

半径2の場合,$I_2$は$(0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1), (1,-1)$ の9点を要素に持つ.$I_2$を頂点とし, 原点を内部に含むような三角形は8個存在する. そのうち2つを下図に示す. 残りは回転で得られる.

半径3の場合は,$I_3$を頂点とし, 原点を内部に含むような三角形は360個存在し,$I_5$では10600個存在する.

$I_{105}$を頂点とし, 原点を内部に含むような三角形はいく

つ存在するか?