961 : 数字を取り除くゲーム

このゲームは正の整数から始める。2人のプレイヤーが交代でその整数から数字をひとつ取り除く。数字が取り除かれた後、先頭の0は全て取り除かれる。

例えば、105から数字をひとつ削除すると、結果は5,10,15のいずれかになる。

最後のゼロ以外の数字を削除した人が勝者となる。

$N$ 未満の正整数で、先手必勝となるような数の個数を $W(N)$ と定義する。例えば $W(100) = 18, W(10^4) = 1656$ である。

$W(10^{18})$ を求めよ。