306 : 紙テープゲーム

次のゲームは, 組み合わせゲーム理論の古典的な例である:

２人のプレイヤーが, 一列に並んだ n 個の白い正方形から開始して, 交互にターンを行う. 各ターンでは, プレイヤーは２つの隣り合う白い正方形を選び, 黒で塗る. 最初に色を塗ることができなくなったプレイヤーが負けとなる.

• n = 1 の場合, 有効な手はないため, 先手が自動的に負けとなる.

• n = 2 の場合, 有効な手は１つのみであり, その後, 後手が負けとなる.

• n = 3 の場合, 有効な手は２つあるが, どちらも後手が負ける状況となる.

• n = 4 の場合, 有効な手は先手に３つある; 先手は中央の２つの正方形を塗ると勝利できる.

• n = 5 の場合, 有効な手は先手に４つある(下図に赤で示す); しかしいずれを選んでも, 後手(青)が勝利する.

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したがって, 1≦n≦5 に対し, 先手必勝となる n の値は 3 個ある. 同様に, 1≦n≦50 に対し, 先手必勝となる n の値は 40 個ある.

1≦n≦1 000 000 に対し, 先手必勝となる n の値は何個あるか.