145は各桁の階乗の和が145と自分自身に一致することで有名である.
1!+4!+5!=1+24+120=145
169の性質はあまり知られていない. これは169に戻る数の中で最長の列を成す. このように他の数を経て自分自身に戻るループは3つしか存在しない.
169→363601→1454→169
871→45361→871
872→45362→872
どのような数からスタートしてもループに入ることが示せる.
例を見てみよう.
69→363600→1454→169→363601(→1454)
78→45360→871→45361(→871)
540→145(→145)
69から始めた場合, 列は5つの循環しない項を持つ. また100万未満の数から始めた場合最長の循環しない項は60個であることが知られている.
100万未満の数から開始する列の中で, 60個の循環しない項を持つものはいくつあるか?