359 : ヒルベルトの新しいホテル

ヒルベルトの最新の無限ホテルに, 無限数の客(1,2,3,...と番号付けされている)が客室を取ろうと列をなしている. そのホテルは無限数のフロア(1,2,3,...と番号付けされている)を有し, またそれぞれのフロアは無限の客室(1,2,3,...と番号付けされている)を持つ.

当初, ホテルはすべて空室である. ヒルベルトは客 n への客室の割り当て方を次のように発表する :

n 番目の客は, 以下の条件のどちらかをみたす一番最小の数のフロアについて, 最初の(訳注:その時点で最小の数となる)空いている客室を取る.

• そのフロアに客が誰もいないとき

• そのフロアに先客がおり、直前にそのフロアの客室を取った客が m で, m + n が完全平方数のとき

客 1 は, フロア 1 が空きなので, フロア 1 の客室 1 を取る. 客 2 は, 1 + 2 = 3 が完全平方数でないので, フロア 1 の客室 2 は取れない. 代わりに客 2 は, フロア2が空きなので, フロア 2 の客室 1 を取る. 客 3 は, 1 + 3 = 4 が完全平方数なので, フロア 1 の客室 2 を取る.

最終的には, 列にいたすべての客がホテルの客室を取ることができる.

関数$P(f,r)$を、フロア$f$の客室$r$に客$n$が泊まっている場合は$n$、誰もその客室に泊まっていないときは 0 を返すと定義しよう。以下に例を示す : P(1, 1) = 1 P(1, 2) = 3 P(2, 1) = 2 P(10, 20) = 440 P(25, 75) = 4863 P(99, 100) = 19454

$f × r = 71328803586048$となるようなすべての正の$f$と$r$に対し, すべての$P(f, r)$の合計を求め, その最後の8桁を答えよ.