353 : 危険な月

月を中心$(0,0,0)$、半径$r$の球$C(r)$として表そう。

月面上、すなわち$C(r)$の表面で整数座標の位置には月面基地がある。座標$(0,0,r)$にあるものを北極基地、座標$(0,0,-r)$にあるものを南極基地と呼ぼう。

すべての基地は、他の基地と互いに最短最短距離となる道路で結ばれている。それは両基地を通る大圏コース上にある。基地間の旅行は危険をともなう。2基地間の距離が$d$ならば、旅行のリスク測度は$(\frac{d}{\pi r})^2$となる（これをその道路のリスクと呼ぼう）。旅行が3基地以上からなる場合、利用する道路のリスクの合計がその旅行のリスクとなる。

北極基地から南極基地へ直接旅行すると距離は$\pi r$となりリスクは1になる。北極基地から南極基地へ、$(0,r,0)$にある基地を経由して旅行すると、距離は同じだがリスクは小さくなる：

$\displaystyle \big (\frac{\frac{1}{2} \pi r}{\pi r} \big )^2 + \big (\frac{\frac{1}{2} \pi r}{\pi r} \big )^2 = 0.5$

月$C(r)$での北極基地から南極基地への旅行にともなう最小リスクを$M(r)$としよう。

小数点以下11桁で四捨五入すると$M(7)=0.1784943998$となる。

$\displaystyle \sum_{n=1}^{15} M(2^n-1)$を求めよ。

小数点以下11桁で四捨五入し a.bcdefghijk の形式で回答せよ。