360 : ものすごい球

三次元空間内に$(x_1,y_1,z_1) , (x_2,y_2,z_2)$の二点が与えられているとき, この二点間のマンハッタン距離は$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|+|z_1-z_2|$と定義される.

$C(r)$を原点$O(0,0,0)$を中心とする半径$r$の球とする. $I(r)$を球$C(r)$の表面上の整数の座標を持つすべての点の集合とする. $S(r)$を原点$O$から$I(r)$のすべての要素へのマンハッタン距離の総和とする.

例として, $S(45)=34518$.

$S(10^{10})$を求めよ.