394 : パイ食べ問題

ジェフは一風変わった方法でパイを食べる。 パイは円形状である。彼は半径にそってパイに最初の切り込みを入れる。 そして残りのパイが少なくとも与えられた割合$F$以上残っている間、彼は以下の手順を行う。

• パイの中心から残りのパイの縁の任意の点まで切り込みを入れ、再び同じ確率で、残りのパイの縁の任意の点まで切り込みを入れる。これで残りのパイは3つに分けられる。

• 最初の切り込みから反時計回りで、最初の2切れのパイを取って食べる。

パイの残りが割合$F$未満になった時、彼はこの手順をやめる。かわりに残りのパイをすべて食べる。

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$x \geq 1$に対して、$F = 1/x$のときジェフが上記の手順を繰り返す回数の期待値を$E(x)$としよう。 $E(1) = 1, E(2) \approx 1.2676536759, E(7.5) \approx 2.1215732071$であることが確かめられている。 $E(40)$を求め、小数点以下11桁の位で四捨五入して答えよ。