392 : メッシュ化単位円

直線格子(rectilinear grid)とは、格子線の間が等間隔に限定されない直交格子(orthogonal grid)のことである。 そのような格子の例として対数グラフ用紙があげられる。

以下の様な特徴を持つデカルト座標系の直線格子について考えよう。

• 格子線はデカルト座標系の軸と並行である

• $N+2$個の垂直な格子線と$N+2$個の水平な格子線を持つ。したがって$(N+1) \times (N+1)$個の長方形のマス目を持つ

• 一番端の二つの垂直格子線は$x = -1$と$x = 1$である

• 一番端の二つの水平格子線は$y = -1$と$y = 1$である

• 格子のマス目は、単位円と重なりがある場合は赤色に、そうでなければ黒色に塗られている

さて問題は、赤色のマス目が占める面積が最小になるよう、残りの$N$個の内部垂直格子線と$N$個の内部水平格子線の位置を見つけ出すことである。

例として、$N = 10$の場合の解の図を示す。

p392_gridlines.png

$N = 10$のときの赤いマス目の面積を小数点以下11桁の位で四捨五入したものは3.3469640797となる。

$N = 400$のときの格子線の位置を求めよ。 赤いマス目の面積を小数点以下11桁の位で四捨五入して答えよ。

（訳注：単位円とは、半径が1、原点が中心の円のことである。）