403:放物線と直線で囲まれた格子点

整数$a$と$b$に対し、放物線$y = x^2$と直線$y = ax + b$で囲まれた領域$D(a, b)$を定義しよう。すなわち： $D(a, b) = \{ (x, y) \,|\, x^2 \leq y \leq ax + b \}$

$D(a, b)$に含まれる格子点の個数を$L(a, b)$と定義しよう。 例として、$L(1, 2) = 8, L(2, -1) = 1$である。

さらに$D(a, b)$の面積が有理数であり、かつ$|a|, |b| \leq N$であるすべてのペア$(a, b)$に対する$L(a, b)$の和を$S(N)$と定義する。 $S(5) = 344, S(100) = 26709528$であることが確認できる。

$S(10^{12})$を求めよ。回答は$10^8$を法として答えよ。