404:交差楕円

$x^2 + 4y^2 = 4a^2$の方程式からなる楕円を$E_a$とする。 原点$O(0,0)$を中心に$0° < θ < 90°$の範囲で$E_a$を$θ$度時計回りに回転させた図形を$E_a'$とする。

原点から近い方の2つの交点の原点からの距離を$b$、それ以外の2つの交点の原点からの距離を$c$とする。 $a, b, c$が正の整数となるとき、次のように順序付けされた三つ組(triplet)$(a, b, c)$を正準楕円三つ組と呼ぼう。 例えば、(209, 247, 286) は正準楕円三つ組である。

$a ≤ N$の場合の異なる正準楕円三つ組$(a, b, c)$の個数を$C(N)$としよう。 $C(10^3) = 7, C(10^4) = 106, C(10^6) = 11845$であることが確認できる。

$C(10^{17})$を求めよ。