410 : 円と接線

Cを半径$r$の円$x^2 + y^2 = r^2$とする。2つの点P$(a, b)$, Q$(-a, c)$を、その2点を通る直線がCの接線となるように選ぶ。

例えば、4つ組$(r, a, b, c) = (2, 6, 2, -7)$はこの性質を満たす。

$0 < r ≤ R , 0 < a ≤ X$において、上記の性質を満たす整数の4つ組$(r, a, b, c)$の個数を$F(R, X)$としよう。

$F(1, 5) = 10, F(2, 10) = 52, F(10, 100) = 3384$となることが確かめられる。 $F(10^8, 10^9) + F(10^9, 10^8)$を求めよ。