405 : 長方形の敷き詰め

長さが幅の二倍の長方形のタイルを敷き詰めたい。 一個の長方形タイルからなる敷き詰めを$T(0)$としよう。 $n > 0$に対し、下記の方法で$T(n-1)$のすべてのタイルを置き換えたものを$T(n)$としよう。

n が0から5のときの敷き詰め方 T(n) を以下のアニメーションに示そう。

$T(n)$において4つのタイルが集まっている点の数を$f(n)$としよう。 例えば$f(1) = 0, f(4) = 82, f(10^9) \mod 17^7 = 126897180$である。

$k = 10^{18}$のときの$f(10^k)$を求め、回答を$17^7$を法として答えよ。