423：連続サイコロ投げ

$n$ を正の整数とする。 一個の六面サイコロを$n$回投げる。サイコロの出目が連続して同じ値となるペアの数を $c$ とする。

例えば、$n=7$ でサイコロの目が (1,1,5,6,6,6,3) のとき、連続して同じ値となるサイコロの出目のペアは： (1,1,5,6,6,6,3) (1,1,5,6,6,6,3) (1,1,5,6,6,6,3) したがって、(1,1,5,6,6,6,3) のとき $c=3$ となる。

一個の六面サイコロを $n$ 回投げたとき、$c$ が $\pi(n)$ を超えない結果の数を $C(n)$ と定義する。 例として、$C(3) = 216, C(4) = 1290, C(11) = 361912500, C(24) = 4727547363281250000$ である。

$\displaystyle S(L) = \sum_{n=1}^L C(n)$ と定義する。 例として、$S(50) \bmod 1\,000\,000\,007 = 832833871$ である。

$S(50\,000\,000) \bmod 1\,000\,000\,007$ を求めよ。

注：$π$ は素数計数関数 (prime-counting function) を意味する。すなわち、$\pi(n)$ は $n$ 以下の素数の個数である。

「結果の数」とは「場合の数」か？