422 : 双曲線上の点列

式$12^2 + 7xy - 12y^2 = 625$で定義される双曲線を H とする。

次に、点$(7, 1)$を X と定義する。X は H 上にあるのがわかるだろう。

そして、H 上の点列 (sequence of points) $\{P_i : i ≥ 1\}$を以下のように定義する：

• $P_1 = (13, 61/4)$

• $P_2 = (-43/6, -4)$

• $i > 2$の$i$に対して、点$P_i$は線分$P_i P_{i-1}$が線分$P_{i-2}X$と平行になるように引かれた時の$P_{i-1}$とは異なる方の H 上の唯一の点である。$P_i$は明確に定義することができ(well-defined)、さらにそれらの座標は常に有理数となる。

$P_3 = (-19/2, -229/24),$ $P_4 = (1267/144, -37/12),$ $P_7 = (17194218091/143327232, 274748766781/1719926784)$がすでに与えられている。

$n = 11^{14}$のときの$P_n$を求め、以下の形式で答えよ： $P_n$を既約分数、また分母を正の数として表したとき$(a/b, c/d)$となるならば、答えは$(a + b + c + d) \bmod 1 \,000\, 000\, 007$ とする。

例えば$n = 7$のとき、答えるべき解答は 806236837 となる。