513 : 整数中線

$a \leq b \leq c$ となる整数辺を持つ三角形 ABC がある。 線分 AB の中点と点 C を結ぶ中線を $m_c$ とする。 $c \leq n$ であり、さらに $m_c$ が整数の長さを持つような三角形の数を $F(n)$ としよう。 $F(10)=3, F(50)=165$ である。

$F(100000)$ を求めよ。