740 : 秘密のサンタ

「秘密のサンタ」は、$n$人がお互いにプレゼントを与えるプロセスである。すべての人はひとつのプレゼントを与え、ひとつのプレゼントを受け取る。最初に、それぞれの人は紙切れに自分の名前を書き帽子に入れる。次に、それぞれの人はランダムに紙切れを帽子から取り出す。もし紙切れに自分の名前が書かれていれば帽子に戻し，別のランダムな紙切れを取り出す。最後には皆が、自分が持っている紙切れに名前が書かれている人にクリスマスプレゼントを買う。もし最後の人が自身の名前が書かれた紙切れを引いてしまえば、このプロセスは失敗する。

このバリエーションとして、$n$人の人がそれぞれ2つのプレゼントをやり取りするというのがある。最初に、それぞれの人は 2 枚の紙切れにそれぞれ自分の名前を書き帽子に入れる（帽子には$2n$枚の紙切れが入る）。前と同じように、それぞれの人が帽子から自分自身の名前が書かれていない紙切れをランダムに取り出す 。同じ人がもう一枚自分の名前が書かれていない紙切れを取り出して、その人の順番は終わる。そして、次の人は2枚の紙切れを同じ方法で引く。もし最後の人が自身の名前が書かれている紙切れを1枚でも取り出すことになるとこのプロセスは失敗する。

このような事が起きる確率を$q(n)$とする。小数点以下10桁に丸めて、$q(3)=0.3611111111$と$q(5)=0.2476095994$が与えられている。

小数点以下10桁に丸めて$q(100)$を求めよ。