737 : コイン・ループ

たくさんの同質なコインを使って水平なテーブル上でゲームをする。

テーブルに垂直な直線をひとつ考える。 最初のコインはその直線に接するようにテーブルに置かれる。 そして、一枚ずつ、コインは直前に置かれたコインの上に水平に，かつ垂直線に接するように置かれる。 置かれるコインは全てバランスを保っていなければならない。

下の図は、点 P が直線の位置を表すとして、8 枚のコインが置かれた様子を示している。

コイン・ループを形成するためには最小限 31 枚のコインが必要である。すなわち、それぞれのコインをテーブルに射影したとして、直線に対して$n$枚目のコインの中心が$(n-1)$枚目のコインの中心から$\theta_n$回転しているとして、その総和$\displaystyle \sum_{k=2}^n \theta_k$がはじめて360°を超えるのが$n = 31$ということである。一般化して、$k$回ループする$n$とは和が$360^{\circ} k$を超える最小の数である。

同じように、直線の周りを2回ループさせるためには154個のコイン、10回ループさせるためには6947個のコインが必要である。

直線の周りを2020回ループさせるためには何個のコインが必要か計算せよ。