105 : 特殊和集合:検査

大きさ$n$の集合$A$の要素の和を$S(A)$で表す. 空でなく共通要素を持たないいかなる 2 つの部分集合$B$と$C$に対しても以下の性質が真であれば,$A$を特殊和集合と呼ぼう.

1. $S(B) ≠ S(C)$; つまり, 部分集合の和が等しくてはならない.

2. $B$が$C$より多くの要素を含んでいればこのとき$S(B) > S(C)$となる.

たとえば, $\{81, 88, 75, 42, 87, 84, 86, 65\}$は,$65 + 87 + 88 = 75 + 81 + 84$であるため特殊和集合ではないが,$\{157, 150, 164, 119, 79, 159, 161, 139, 158\}$はすべての可能な部分集合の対の組み合わせについて両方のルールを満たしており, また$S(A) = 1286$である.

7個から12個の要素を含む集合100個が記された 4K のテキストファイルsets.txt (右クリックして "名前をつけてリンク先を保存") を用いて (上の二例はファイルの最初の 2 集合である), 特殊和集合$A_1, A_2, \dots , A_k$をすべて特定し,$S(A_1) + S(A_2) + \dots + S(A_k)$を求めよ.

注意: この問題は問題103と問題106に関連している.