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# 101 : 最適多項式(\*)

数列の$$k$$個の項を与えられたときに, 次の項を確実に求めることは不可能である. その数列に合うような多項式が無限個存在するからである.

例として, 立方数の数列を考えよう. これは生成関数$$u\_n = n^3$$で定義され, 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...となる.

この数列の最初の2項のみが与えられているとしよう. "Simple is best"の法則にのっとり, 線形の関係があると仮定し, 3つ目の項が15であると予想する (差分が7). もし最初の3項のみが与えられていたとしても, 同じ原則により, 二次の関係があると仮定して次の項を予測する.

数列の最初の$$k$$項を生成できる最適な多項式の第$$n$$項を$$\textrm{OP}(k, n)$$で表すことにする. 明らかに,$$n ≤ k$$について$$\textrm{OP}(k, n)$$は正しい. 最初の異なる項 (First Incorrect Term, FIT) は$$\textrm{OP}(k, k+1)$$であろう. これを bad OP (BOP) と呼ぶことにする.

原則より, 最初の項しか与えられていない場合には, 定数項とするのが理に適っているだろう; 即ち,$$n ≥ 2, \textrm{OP}(1, n) = u\_1$$.

従って, 立方数の数列について以下のOPを得る.

|                                    |                        |
| ---------------------------------- | ---------------------- |
| $$\textrm{OP}(1, n) = 1$$          | 1, 1, 1, 1, ...        |
| $$\textrm{OP}(2, n) = 7n−6$$       | 1, 8, 15, ...          |
| $$\textrm{OP}(3, n) = 6n^2−11n+6$$ | 1, 8, 27, 58, ...      |
| $$\textrm{OP}(4, n) = n^3$$        | 1, 8, 27, 64, 125, ... |

(BOPを赤くする)

明らかに,$$k ≥ 4$$のときにはBOPは存在しない.

BOPのFIT (上の例では赤で示されている) の和は,$$1 + 15 + 58 = 74$$である.

以下の10次多項式からなる生成関数を考える:

$$u\_n = 1 − n + n^2 − n^3 + n^4 − n^5 + n^6 − n^7 + n^8 − n^9 + n^{10}$$

BOPのFITの総和を求めよ.