335 : 豆集め

ピーターは退屈するといつも, 何枚かボウルを円状に置き, １個ずつ豆を入れる. 次に, ある１枚のボウルから豆をすべて取り出し, 時計回りにボウルに１個ずつ落とし入れていく. 最後の豆を落とし入れたボウルから始めて, 最初の状況が再び現れるまでこれを繰り返す. 例えば５枚のボウルでは次のように動かす：

したがって５枚のボウルではピーターは最初の状況に戻るのに 15 手かかる. $x$ 枚のボウルから始めて, 最初の状況に戻るのに必要な手の数を $M(x)$ と表そう. ゆえに $M(5) = 15$ である. また $M(100) = 10920$ であることが確かめられる.

$\displaystyle \sum_{k=0}^{10^{18}} M(2k+1)$ を求めよ. 答えを $\mod 7^9$ で入力せよ.