420 : 2x2の正整数行列

正整数行列とは要素が全て正の整数の行列のことである。 正整数行列の中には、正整数行列の自乗として二つの方法で表せるものがある。例えば、

$\left ( \begin{array}{rr}40 & 12\\48 & 40\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{rr}2 & 3\\2 & 12\end{array} \right )^2 = \left ( \begin{array}{rr}6 & 1\\4 & 6\end{array} \right )^2$

二つの方法で正整数行列の自乗として表すことができる、対角和（跡, trace）がN未満の2x2の正整数行列の個数を$F(N)$としよう。 $F(50) = 7,$ $F(1000) = 1019$であることが確かめられている。

$F(10^7)$を求めよ。