066 : ディオファントス方程式(*)

次の形式の, 2次のディオファントス方程式を考えよう:

$x^2 - Dy^2 = 1$

たとえば$D=13$のとき, $x$ を最小にする解は$649^2 - 13×180^2 = 1$である.

$D$が平方数のとき, 正整数のなかに解は存在しないと考えられる.

$D = \{2, 3, 5, 6, 7\}$に対して$x$を最小にする解は次のようになる:

• $3^2 - 2×2^2 = 1$

• $2^2 - 3×1^2 = 1$

• $9^2 - 5×4^2 = 1$(9を強調したい)

• $5^2 - 6×2^2 = 1$

• $8^2 - 7×3^2 = 1$

したがって,$D ≤ 7$に対して$x$を最小にする解を考えると,$D=5$のとき$x$は最大である.

$D ≤ 1000$に対する$x$を最小にする解で,$x$が最大になるような$D$の値を見つけよ.