065 : e の近似分数

2の平方根は無限連分数として書くことができる。

$\displaystyle \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}}$

この無限連分数を$\sqrt{2} = [1;(2)]$と表記することもできる。$(2)$は2が際限なく繰り返されることを示す。同様に$\sqrt{23} = [4;(1,3,1,8)]$である。

平方根の部分的な連分数の数列から良い有理近似が得られることが分かる.$\sqrt{2}$の近似分数について考えよう。

$\displaystyle 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$\displaystyle 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{7}{5}$

$\displaystyle 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}}} = \frac{17}{12}$

$\displaystyle 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2+\frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}} = \frac{41}{29}$

従って, $\sqrt{2}$の近似分数からなる数列の最初の10項は：

$\displaystyle 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \frac{1393}{985}, \frac{3363}{2378}, \dots$

もっとも驚くべきことに, 数学的に重要な定数$e$は次のように表せて、 $e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , \dots , 1,2k,1, \dots]$

$e$ の近似分数からなる数列の最初の10項は：

$\displaystyle 2, 3, \frac{8}{3}, \frac{11}{4}, \frac{19}{7}, \frac{87}{32}, \frac{106}{39}, \frac{193}{71}, \frac{1264}{465}, \frac{1457}{536}, \dots$

第10項の近似分数の分子の桁を合計すると$1+4+5+7=17$である。

$e$についての連分数である近似分数の第100項の分子の桁の合計を求めよ。