159 : 因数分解の数字根和

合成数は多くの異なった方法で因数分解することができる. 例えば, 1 を含めないとすると, 24 は以下の 7 通りに因数分解される.

24 = 2x2x2x3 24 = 2x3x4 24 = 2x2x6 24 = 4x6 24 = 3x8 24 = 2x12 24 = 24

ある数について, 各桁の数字を足し合わせることを 10 未満になるまで繰り返したときに得られる数を, 数字根 (digital root) と呼ぶことにする. つまり, 467 の数字根は 8 となる.

それぞれの因数の数字根の和を数字根和 (Digital Root Sum , DRS) と呼ぶことにする. 以下の表に 24 の DRS を示す.

因数分解	Digital Root Sum
2x2x2x3	9
2x3x4	9
2x2x6	10
4x6	10
3x8	11
2x12	5
24	6

24 の数字根和の最大値は 11 となる. mdrs(n) を, n の数字根和の最大値と定義する. つまり, mdrs(24) = 11 となる. $1 < n < 1,000,000$について$\sum \textrm{mdrs}(n)$を求めよ.