153 : ガウス整数の調べ上げ

方程式$x^2 = -1$が実数$x$について解が存在しないことは誰もが知っている. しかし, 虚数$i$を導入することで方程式は2つの解$x = i , x = -i$を持つ. さらに, 方程式$(x - 3)^2 = -4$は二つの複素数の解$x = 3+2i , x = 3-2i$を持つ. $x = 3+2i$と$x = 3-2i$は他方の共役複素数と呼ばれる. $a + bi$という形の数は複素数と呼ばれる. 一般に,$a + bi$と$a - bi$は他方の共役複素数である.

ガウス整数とは$a$と$b$がともに整数である複素数$a + bi$のことである. 普通の整数はまた, ガウス整数である. ($b = 0$のケース) $b ≠ 0$のガウス整数と区別するために, 普通の整数を"有理整数"と呼ぶことにする. 有理整数$n$をあるガウス整数で割った結果がガウス整数である場合, そのガウス整数は約数と呼ばれる. 例として,$5$を$1+2i$で割ると,$\displaystyle \frac{5}{1+2i}$は以下のように簡略化できる. 分子と分母に$1+2i$の共役複素数$1-2i$を掛ける. 結果は,$\displaystyle \frac{5}{1+2i} = \frac{5}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i} = \frac{5(1-2i)}{1-(2i)^2} = \frac{5(1-2i)}{1-(-4)} = \frac{5(1-2i)}{5} = 1-2i$となる. よって, $1+2i$は$5$の約数である. $1+i$は$\displaystyle \frac{5}{1+i} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i$なので 5 の約数でないことに注意. さらに, ガウス整数$(a+bi)$が有理整数$n$の約数ならば, その共役複素数$(a-bi)$もまた$n$の約数となることにも注意.

実際,$5$は実部が正となる約数を,$\{1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5\}$の6個持つ. 以下に最初の5個の正の有理整数の約数の表を示す.

n	実部が正のガウス整数の約数	約数の和$s(n)$
1	$1$	1
2	$1, 1+i, 1-i, 2$	5
3	$1, 3$	4
4	$1, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,4$	13
5	$1, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 5$	12

正の実部を持つ約数について,$\displaystyle \sum_{n=1}^5 s(n) = 35$を得る.

$1 ≤ n ≤ 10^5$について,$\displaystyle \sum_{n=1}^{10^5} s(n) = 17924657155$となる.

$1 ≤ n ≤ 10^8$について,$\displaystyle \sum_{n=1}^{10^8} s(n)$を求めよ.