156 : 桁の数え上げ(*)

以下のように, 10進法で自然数を0から書いていく. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12....

ある桁の数が d = 1 について考える. 数nを書いた後, 1が出現する回数を更新する. この数を f(n,1) とする. f(n,1) の最初の値は以下のようになる.

n	f(n,1)
0	0
1	1
2	1
3	1
4	1
5	1
6	1
7	1
8	1
9	1
10	2
11	4
12	5

f(n,1) は決して3にならないことに注意. つまり, f(n,1) = n の最初の2つの解は, n = 0 と n = 1 となる. 次の解は n = 199981 である.

同様にして, f(n,d) はある桁の数dがnまでに何回現れたか, と定義する. 実は, d ≠ 0 の全てのdについて, 0 が f(n,d)=n の最初の解となる.

s(d) を, f(n,d) = n の解の総和として定義する. s(1) = 22786974071 となる.

1 ≤ d ≤ 9 について, ∑ s(d) を求めよ.

注意: もし, f(n,d) = n となるnが異なったdについて存在した場合, このnは重複して数えるものとする.

(数式化、「桁の数」)