228 : ミンコフスキー和

$S_{n}$ を正 $n$ 角形とし, 各頂点の座標が以下の式で表せるとする.

$$\begin{aligned} x_{k} = cos(\frac{2k-1}{n} \times 180^\circ) \\ y_{k} = sin(\frac{2k-1}{n} \times 180^\circ) \end{aligned}$$

各 $S_{n}$ は辺上と内部の全ての点からなる, 塗りつぶされた図形とする.

2つの図形 $S,T$ のミンコフスキー和(Minkowski sum) $S+T$ は, $S$ 上の全ての点と $T$ 上の全ての点を足した結果である. 点の足し算は $(u, v) + (x, y) = (u+x, v+y)$ で求める.

例として, $S_{3}$ と $S_{4}$ の和は下図のピンク色の六角形で表せる.

$S_{1864} + S_{1865} + \dots + S_{1909}$ はいくつ辺を持つか.