229 : 平方数による4通りの表し方

$3600$ は特殊な数字である, というのは以下の特徴があるからである.

$$\begin{aligned} 3600 &= 48^{2} + \hspace{6mm} 36^{2} \\ 3600 &= 20^{2} + 2 \times 40^{2} \\ 3600 &= 30^{2} + 3 \times 30^{2} \\ 3600 &= 45^{2} + 7 \times 15^{2} \end{aligned}$$

同様に, $82201 = 99^{2} + 280^{2} = 287^{2} + 2×54^{2} = 283^{2} + 3×54^{2} = 197^{2} + 7×84^{2}$ である.

1747年, オイラーはどのような数が平方数の和で表せるか証明した. 我々は以下のような4通りの式で表せる数 $n$ に着目する.

$$\begin{aligned} n &= {a_{1}}^{2} + \hspace{2.5mm} {b_{1}}^{2} \\ n &= {a_{2}}^{2} + 2\ {b_{2}}^{2} \\ n &= {a_{3}}^{2} + 3\ {b_{3}}^{2} \\ n &= {a_{7}}^{2} + 7\ {b_{7}}^{2} \end{aligned}$$

$a_{k},b_{k}$ は正整数とする.

$10^{7}$ 以下ではこれを満たす整数は $75373$ 個ある. $2 \times 10^{9}$ 以下ではいくつあるか.