255 : 丸め平方根

正整数$n$の丸め平方根 (rounded-square-root)を、$n$の平方根を一番近い整数に丸めたものと定義する。

次の方法（本質的には整数論に適用したヘロンの方法）で$n$の丸め平方根が求まる：

$d$を数$n$の桁数とする。 もし$d$が奇数なら、$x_0 = 2 × 10^{(d-1)/2}$とする。 もし$d$が偶数なら、$x_0 = 7 × 10^{(d-2)/2}$とする。

$x_{k+1} = x_k$となるまで$\displaystyle x_{k+1} = \left \lfloor \frac{x_k + \lceil n/x_k \rceil}{2} \right \rfloor$を繰り返す。

例として、$n = 4321$の丸め平方根を求めてみよう。 $n$は4桁であるので、$x_0 = 7 × 10^{(4-2)/2} = 70$である。 $\displaystyle x_1 = \left \lfloor \frac{70 + \lceil 4321 / 70\rceil}{2} \right \rfloor = 66$ $\displaystyle x_2 = \left \lfloor \frac{66 + \lceil 4321 / 66 \rceil}{2} \right \rfloor = 66$

$x_2 = x_1$なのでここで止める。 つまり、たった 2 回の繰り返しで、4321の丸め平方根は 66 であることがわかる。（実際の平方根は 65.7343137... である。）

この方法を使うと繰り返しの回数は意外に少ない。例えば、5 桁の整数(10,000 ≤ n ≤ 99,999) では平均 3.2102888889 である。（平均は小数点以下 10 桁に四捨五入した。）

上記の方法を用いて、14桁の数$(10^{13} ≤ n < 10^{14})$の丸め平方根を求めるのに必要な繰り返しの回数の平均を求めよ。 回答は小数点以下10桁に四捨五入せよ。

注意：記号$\lfloor x \rfloor$と$\lceil x \rceil$はそれぞれ床関数と天井関数を表す。