257 : 角の二等分線

辺の長さが整数である三角形 ABC について考える。辺は a ≤ b ≤ c とする(AB = c, BC = a, AC = b)。三角形の角の二等分線は辺と E, F, G で交わる(下の図を参照)。

線分 EF, EG, FG は三角形 ABC を 4 つの三角形 AEG, BFE, CGF, EFG に分ける。これら 4 つの三角形において、比率 (ABCの面積)/(小三角形の面積)が有理数になることが証明されている。しかし、いくつかまたは全ての比率が整数になるような場合が存在する。

ABCの面積/AEGの面積 の比率が整数となるような、周辺の長さ ≤ 100,000,000 を満たす三角形 ABC はいくつあるか。