201 : 唯一の和を持つ部分集合

数の集合$A$について,$sum(A)$で$A$の要素の和を表す. 集合$B = \{1,3,6,8,10,11\}$を考えよう. $B$の$3$要素の部分集合は$20$個あり, それぞれ和は以下になる.

$$\begin{aligned} &sum(\{1,3,6\}) = 10, \\ &sum(\{1,3,8\}) = 12, \\ &sum(\{1,3,10\}) = 14, \\ &sum(\{1,3,11\}) = 15, \\ &sum(\{1,6,8\}) = 15, \\ &sum(\{1,6,10\}) = 17, \\ &sum(\{1,6,11\}) = 18, \\ &sum(\{1,8,10\}) = 19, \\ &sum(\{1,8,11\}) = 20, \\ &sum(\{1,10,11\}) = 22, \\ &sum(\{3,6,8\}) = 17, \\ &sum(\{3,6,10\}) = 19, \\ &sum(\{3,6,11\}) = 20, \\ &sum(\{3,8,10\}) = 21, \\ &sum(\{3,8,11\}) = 22, \\ &sum(\{3,10,11\}) = 24, \\ &sum(\{6,8,10\}) = 24, \\ &sum(\{6,8,11\}) = 25, \\ &sum(\{6,10,11\}) = 27, \\ &sum(\{8,10,11\}) = 29. \\ \end{aligned}$$

これらの和は$1$つしか現れない場合もそうでない場合もある. 集合$A$について, $U(A,k)$で, $A$の$k$要素の集合全体について和を取ったときに$1$回のみ現れる和の集合を表す. 上の例をとると, $U(B,3) = \{10,12,14,18,21,25,27,29\}$であり, $sum(U(B,3)) = 156$となる.

今, $100$個の要素を持つ集合 $S = \{1^2, 2^2, ..., 100^2\}$を考える. $S$の$50$要素の部分集合は$100891344545564193334812497256$個ある.

$50$要素の部分集合の和の中で$1$回のみ現れる和の集合の総和を求めよ. すなわち, $sum(U(S,50))$を求めよ.