210 : 鈍角三角形

$\mid x \mid + \mid y\mid \ \leq \ r$ を満たす整数の座標 $(x,y)$ の集合 $S(r)$ について考える. $O$ を点 $(0,0)$ とし, $C$ を点 $(r/4, r/4)$ とする. $N(r)$ を次の条件を満たす $S(r)$ 中の点 $B$ の数とする: 三角形 $OBC$ が鈍角を持つ, つまり 最大角 $\alpha$ が $90 \lt \alpha \lt 180$ を満たす. 例えば $N(4)=24, N(8)=100$ である.

$N(1,000,000,000)$ を求めよ.