202 : レーザービーム

正三角形$ABC$の内側に鏡が張られている. 各頂点にはレーザーが通れるような微小の穴がある.

$C$から入ったレーザーが, 内側の辺で$11$回反射し頂点Cから出て行くような経路は$2$つ存在する. $1$つを下に示す. もう$1$つはこの逆である.

$1000001$回反射し出て行くような経路は$80840$通り存在する.

$C$から入ったレーザーが, 内側の辺で$12017639147$回反射し, 元の頂点$C$から出て行くような経路はいくつ存在するか.