207 : 整数分割方程式

いくつかの正整数 $k$ は, 整数の分割式 $4^t = 2^t + k$ が成り立つ. $4^t, 2^t, k$ は全て正の整数, $t$ は実数とする.

最初の $2$ つの分割は $4^1 = 2^1 + 2$ と $4^{1.5849625...} = 2^{1.5849625...} + 6$ である.

$t$ も整数である分割を完全と呼ぶ. $m \geq 1$を満たす $m$ に対して $P(m)$ を $k \leq m$ で分割が完全である割合と定義する. つまり $P(6) = 1/2$ である.

次の表はいくつかの $m$ に対する $P(m)$ の例である.

$$\begin{aligned} &P(5) = 1/1 \\ &P(10) = 1/2 \\ &P(15) = 2/3 \\ &P(20) = 1/2 \\ &P(25) = 1/2 \\ &P(30) = 2/5 \\ &... \\ &P(180) = 1/4 \\ &P(185) = 3/13 \end{aligned}$$

$P(m) \lt 1/12345$ を満たす最小の $m$ を求めよ.