232 : The Race

2人のプレイヤーが偏りのないコインを使用して"The Race"というゲームを交代で行う。

プレイヤー1のターンでは、コインを1回投げる。表が出たら1ポイントを獲得する。裏がでたらポイントは得られない。

プレイヤー2のターンでは、まずプレイヤー2は正整数$T$を選び、そしてコインを$T$回投げる。 もし全て表だったら$2^{T-1}$ポイントを得る。それ以外の場合はポイントは得られない。

プレイヤー1が先手である。勝者は先に100以上のポイントを得たプレイヤーである。

各ターンでプレイヤー2は自分が最も勝つ確率の高いコインを投げる回数$T$を選択する。

プレイヤー2の勝つ確率を求めよ。

10進数8桁に四捨五入し、0.abcdefgh という形で解答を入力せよ。