261 : ピボット平方数の和

次の条件を満たすとき、正整数$k$を平方ピボット (square-pivot)と呼ぶことにしよう： $k$までの連続する$(m+1)$個の平方の和と$(n+1)$から連続する$m$個の平方の和が等しいような、$m > 0$と$n ≥ k$の整数の組がある、つまり $(k-m)^2 + \dots + k^2 = (n+1)^2 + \dots + (n+m)^2$

小さい平方ピボットの例をいくつか挙げる：

• 4: $3^2 + \underline{4}^2 = 5^2$

• 21: $20^2 + \underline{21}^2 = 29^2$

• 24: $21^2 + 22^2 + 23^2 + \underline{24}^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2$

• 110: $108^2 + 109^2 + \underline{110}^2 = 133^2 + 134^2$

$10^{10}$以下の全ての異なる平方ピボットの合計を求めよ。