267 : 億万長者

あなたに変わった投資の機会が与えられる。

ある一定の割合 f を自由に選び、自分の資産のうち f を公正なコイントスに賭ける。初めの資産は £1 で、トスは1000回行う。

賭け金は表の時は倍戻り、裏の時は失う。

例えば、f=1/4 のとき、最初のトスでは £0.25 賭け、表が出たら £0.5 を勝ち取り、£1.5 の手持ちとなる。次に £0.375 を賭け、2 回目のトスで裏が出たら、£1.125 となる。

1,000 回後に、少なくとも £1,000,000,000 を持っている確率が最大になる f を選ぶと、£1,000,000,000 獲得できる確率はいくらか？

全ての計算は正確（丸めなし）に行うとする。ただし答は小数点以下 12 桁に四捨五入し、 0.abcdefghijkl の形式で入力せよ。