269 : 少なくとも1つの整数の根を持つ多項式

多項式$P(x)$の根(root)または零点(zero)とは、等式$P(x)=0$の解のことである。 $P_n$を$n$の各桁が係数となるような多項式と定義する。 例えば$P_{5703}(x)=5x^3 + 7x^2 + 3$である。

以下のことがわかる：

• $P_n(0)$は$n$の最後の桁

• $P_n(1)$は$n$の各桁の合計

• $P_n(10)$は$n$そのもの

$Z(k)$を、多項式$P_n$が少なくとも1つの整数の根を持つような、$k$を超えない正の整数$n$の個数とする。

$Z(100\, 000)$は 14696 であることが確かめられる。

$Z(10^{16})$はいくつか？