270 : 正方形の切断

寸法が N×N (整数)の正方形の紙 1 枚を、角を原点に、2辺を x 軸と y 軸に沿って置く。そして、次のルールに従ってそれを切っていく：

• 格子点でかつ正方形の異なる辺上にある 2 点の間を一直線に切る

• どの切った線も交わらない、ただしいくつかの切った線は同じ端点を共有する

• もう切ることができなくなるまで続ける

反転や回転したものを全て区別して数えた時、C(N) を N×N の正方形を何通り切れるかを表すとする。例えば、C(1) = 2, C(2) = 30 である（下を参照）

$C(30) \mod 10^8$を求めよ。