140 : 変形フィボナッチ金塊

3項間漸化式$G_k = G_{k-1} + G_{k-2}, G_1 = 1, G_2 = 4$ ($G_k = 1, 4, 5, 9, 14, 23, \dots$) によって与えられる無限級数$A_G(x) = xG_1 + x^2G_2 + x^3G_3 + \dots$を考える.

この問題では,$A_G(x)$が正の整数となるような$x$の値について考える.

最初の5つの自然数に対する$x$の値を下表に示す.

****$x$****	****$A_G(x)$****
$\frac{\sqrt{5}−1}{4}$	1
$\frac{2}{5}$	2
$\frac{\sqrt{22}−2}{6}$	3
$\frac{\sqrt{137}−5}{14}$	4
$\frac{1}{2}$	5

x が有理数となるときの AG(x) の値を"金塊" (golden nugget) と呼ぶことにする. "金塊"は次第に稀になっていき, 20番目の"金塊"は 211345365 となる.

最初の30個の"金塊"の和を求めよ.