137 : フィボナッチ金塊

フィボナッチ数列$F_k = 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$すなわち$F_k = F_{k-1} + F_{k-2}, F_1 = 1, F_2 = 1$によって与えられる無限級数$A_F(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \dots$を考える.

この問題では, $A_F(x)$が正の整数となるような$x$の値について考える. 驚くべきことに, $A_F(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})\times 1 + (\frac{1}{2})^2\times 1 + (\frac{1}{2})^3\times 2 + (\frac{1}{2})^4\times 3 + (\frac{1}{2})^5\times 5 + \dots = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \dots = 2$である.

最初の5つの自然数に対する x の値を下表に示す.

$x$	$A_F(x)$
$\sqrt{2}−1$	1
$\frac{1}{2}$	2
$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$	3
$\frac{\sqrt{89}-5}{8}$	4
$\frac{\sqrt{34}-3}{5}$	5

xが有理数のときの$A_F(x)$の値を, 非常に稀なので, "金塊" (golden nugget) と呼ぶ. 実際, 10番目の"金塊"は74049690である.

15番目の"金塊"を求めよ.