385 : 三角形内の楕円

平面上のいかなる三角形Tにおいても、Tの内部にぴったりと収まる, 最大の面積となる唯一の楕円の存在を示すことができる。

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与えられたnに対し、以下の条件を満たす三角形Tを考えよう：

• Tの頂点がnの絶対値以下の整数座標を持つ

• T内の最大面積となる楕円の焦点が$(\sqrt{13},0)$と$(-\sqrt{13},0)$になる

このような三角形全ての面積の総和を$A(n)$としよう。

例えば$n = 8$のとき、そのような三角形が二つ存在する。それらの頂点は$(-4,-3),(-4,3),(8,0)$と$(4,3),(4,-3),(-8,0)$であり、三角形の面積はどちらも36になる。したがって$A(8) = 36 + 36 = 72$となる。

$A(10) = 252, A(100) = 34632, A(1000) = 3529008$であることが確認できる。

$A(1\,000\,000\,000)$を求めよ。

注：楕円の焦点とは、楕円の境界上の点Pに対しAP + BPが一定の長さとなる二点AとBのことである。