549 : 階乗の可除性

10が $m!$ を割り切る最小の整数 $m$ は5である。 25が $m!$ を割り切る最小の整数 $m$ は10である。

ここで、$s(n)$ を「$n$ が $m!$ を割り切る最小の整数 $m$」と定義する。 つまり $s(10) = 5, s(25) = 10$ となる。 また、$S(n)$ を2から$n$ までの $s(i)$ の総和、すなわち $\sum_{i=2}^n s(i)$ とする。 例えば、$S(100) = 2012$ である。

このとき、$S(10^8)$ を求めよ。