300 : タンパク質の畳込み
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非常に単純化すると、タンパク質は、疎水性要素 (H) と極性要素 (P) からなる列と考えることができる。例えばHHPPHHHPHHPHである。 本問では、タンパク質の方向は重要であるとする。たとえばHPPとPPHは別個のものとして考える。したがって、個の要素からなる異なるタンパク質は通りある。
これらの列が自然に存在するときは常に、エネルギー的に有利であるため、H-Hの接触点の数ができるだけ大きくなるよう折りたたまれている。 その結果、H要素は内側に集まり、P要素は外側になる傾向がある。 自然のタンパク質はもちろん三次元に折りたたまれているが、われわれは二次元に折りたたまれたタンパク質のみを考える。
下図は、例のタンパク質を折りたたむやり方を二通り示している(H-Hの接触点を赤い点で示している)。
左の折りたたみ方はH-Hの接触点が6 個しかないため、自然に起こることは決してない。 これに対して、右の折りたたみ方は接触点が9個あり、この列では最適である。
列の任意の位置においてH要素とP要素が等しい確率で出現すると仮定すると、長さ8のランダムなタンパク質の最適な折りたたみ方におけるH-Hの接触点の数は、平均して となることが分かる。
長さ15のランダムなタンパク質の最適な折りたたみ方におけるH-Hの接触点の平均数はいくつか。 厳密な結果を必要な数の小数位を用いて答えよ。