300 : タンパク質の畳込み

非常に単純化すると、タンパク質は、疎水性要素 (H) と極性要素 (P) からなる列と考えることができる。例えばHHPPHHHPHHPHである。 本問では、タンパク質の方向は重要であるとする。たとえばHPPとPPHは別個のものとして考える。したがって、$n$個の要素からなる異なるタンパク質は$2^n$通りある。

これらの列が自然に存在するときは常に、エネルギー的に有利であるため、H-Hの接触点の数ができるだけ大きくなるよう折りたたまれている。 その結果、H要素は内側に集まり、P要素は外側になる傾向がある。 自然のタンパク質はもちろん三次元に折りたたまれているが、われわれは二次元に折りたたまれたタンパク質のみを考える。

下図は、例のタンパク質を折りたたむやり方を二通り示している（H-Hの接触点を赤い点で示している）。

左の折りたたみ方はH-Hの接触点が6 個しかないため、自然に起こることは決してない。 これに対して、右の折りたたみ方は接触点が9個あり、この列では最適である。

列の任意の位置においてH要素とP要素が等しい確率で出現すると仮定すると、長さ8のランダムなタンパク質の最適な折りたたみ方におけるH-Hの接触点の数は、平均して $850 / 2^8 = 3.3203125$となることが分かる。

長さ15のランダムなタンパク質の最適な折りたたみ方におけるH-Hの接触点の平均数はいくつか。 厳密な結果を必要な数の小数位を用いて答えよ。